Пример решения задачи по алгебре - действия над матрицами - OkZachet.Ru
 

OkZachet.Ru

Решение задач и контрольных работ|Помощь на экзамене|Онлайн тесты

Скоро сессия студент? OkZachet.Ru - и нет проблем
Опыт. Качество. Гарантии. Бесплатные доработки.
г. Первоуральск, тел. 8(908)639-54-09, email: admin@okzachet.ru

  • Увеличить размер шрифта
  • Размер шрифта по умолчанию
  • Уменьшить размер шрифта
Главная Высшая математика Алгебра, линейная алгебра Пример решения задачи по алгебре - действия над матрицами
E-mail Печать PDF

Пример решения задачи по алгебре - действия над матрицами

действия над матрицами

В данной статье мы рассмотрим основные действия над матрицами.
Тема достаточно простая, но потребует от Вас, мой дорогой читатель, определенных усилий.

Итак, приступим.

1. Умножение матрицы на число. Все очень просто: для того, чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

умножение матрицы на число Данная операция применима, очевидно, как для прямоугольных, так и для квадратных матриц.

2. Транспонирование матрицы - операция замены элементов строки на элементы столбца. Другими словами, при транспонировании матрицы строки становятся столбцами, а столбцы строками. Выглядит это следующим образом:

транспонирование матриц Эта операция применима, как для квадратных, так и для прямоугольных матриц.

3. Сложение матриц - очень простая операция. Для того, чтобы сложить матрицу А и матрицу В, необходимо сложить соответствующие элементы этих матриц.

сложение матриц

сложение матриц Данная операция существует только для матриц одинаковой размерности.

4. Вычитание матриц - фактически тоже самое сложение матриц. Для того, чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, необходимо вычесть из соответствующего элемента матрицы А соответствующий элемент матрицы В:

вычитание матриц Данная операция существует только для матриц одинаковой размерности.

5. Скалярное произведение матрицы-строки на матрицу-столбец. По сути это сумма попарных произведений соответствующих элементов матрицы-строки и матрицы-столбца. Рассмотрим несколько примеров:

произведение матрицы-строки и матрицы-столбца

произведение матрицы-строки и матрицы-столбца

Эту операцию нужно хорошо понимать, так как в следующем пункте мы рассмотрим более сложную операцию, основанную на произведениях матрицы-строки и матрицы-столбца.

6. Умножение матриц - одна из самых важных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате умножения матриц, называется произведением матриц.

Чтобы умножить матрицу А на матрицу В, необходимо для каждой строки первой матрицы А найти всевозможные скалярные произведения со всеми столбцами второй матрицы В.

Из этого следует, что умножение матриц А и В возможно тогда и только тогда, когда количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В, то есть:
Am x n·Bn x k - произведение существует, так как число столбцов n матрицы А равно числу строк n матрицы В;
Am x n·Bz x k - произведение не существует, так как число столбцов n матрицы А неравно числу строк z матрицы B.

Так как же найти произведение матриц? Все очень просто: элемент первой строки и первого столбца с11 результирующей матрицы С=АВ равен скалярному произведению первой строки матрицы А и первого столбца матрицы В, а элемент второй строки и третьего столбца с23, например, равен скалярному произведению второй строки матрицы А и третьего столбца матрицы В и т.д.

Рассмотрим примеры умножения матриц:

пример умножения матриц

пример умножения матриц

умножение матриц

7. Рассмотрим основные свойства операций над матрицами.

Сочетательное свойство (ассоциативность):

А(ВС)=(АВ)С;
λ(АВ)=(λА)В=А(λВ).

Распределительное свойство (дистрибутивность относительно сложения):

А(В+С)=АВ+АС;
(А+В)С=АС+ВС.

Произведение матрицы на единичную матрицу Е подходящего порядка равно самой матрице:

ЕА=АЕ=А.

Произведение матрицы на нулевую матрицу О подходящего порядка равно нулевой матрице:

ОА=АО=О.

Если А и В - квадратные матрицы одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.

Умножение матриц в общем случае некоммутативно:

АВ≠ВА. Приведем пример:

матрицы некоммутативны в общем случае

Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими между собой.

Простейшие примеры коммутирующих матриц:

  • любая квадратная матрица — с самой собой: АА=АА=А2 (возведение матрицы в квадрат);
  • любая квадратная матрица — с единичной матрицей того же порядка ЕА=АЕ=А ;
  • любая квадратная матрица — с нулевой матрицей того же порядка: ОА=АО=О;
  • любая невырожденная квадратная матрица — со своей обратной матрицей: АА-1-1А=Е .

Про обратные матрицы мы поговорим в других статьях. А пока на этом все. Спасибо за внимание.

Если все же у Вас остались вопросы по выполнению заданий, то Вы можете ознакомиться с общей информацией по решению контрольных работ и задач на заказ на сайте OkZachet.Ru.

С Уважением, Администратор сайта.

Обновлено 25.08.2017 11:28  

Добавить комментарий

Перед опубликованием все комментарии модерируются!


Пройти опрос 1

По какому предмету Вам нужна помощь?
 

Пройти опрос 2

Из какого вы города?
 

Пройти опрос 3

Что нужно добавить на сайт?